
Ce document contient tous les résultats (Lemmes, Propositions et Théorèmes)
que nous allons revoir ou introduire pendant ce cours de Théorie des Probabilités. Ce document ne contient pas (à quelques exceptions près) les preuves de ces résultats, mais il en
contient des exemples, contre-exemples, applications et beaucoup de remarques. Certains
résultats seront prouvés en cours, d’autres seront admis, mais toutes les preuves sont
disponibles sur Madoc (en version manuscrites).
Les Sections 1 et 2 sont dédiées à la Théorie de la mesure et à l’Intégration contre une
mesure générale. Parmi vous certains étudiants sont déjà très à l’aise avec ces notions,
d’autres un peu moins. Nous consacrerons donc les deux premières semaines à ces sec-
tions parce qu’elles sont indispensables pour aborder certains concepts de la théorie des
probabilités que vous étudierez cette année.
La Section 3 est consacrée à des rappels concernant le cours de probabilités de L3. Vous
devrez donc travailler cette section seul, nous ne l’aborderons pas en cours. En revanche,
vous devrez connaı̂tre tous les résultats qu’elle contient. Pour vous aider à travailler cette
section, les preuves y sont esquissées. La sous-section 3.4 (simulation de variables aléatoires
par la méthode des quantiles) est nouvelle pour vous, nous prouverons le résultat principal
en TD et celui-ci sera nécessaire pour traiter le premier des deux TP distanciel que vous
devrez rendre en binôme avant les vacances de Toussaint.
Les sections 4, 5, 6 et 7 seront abordées pendant la troisième et la quatrième semaine
du cours. Notez que la sous-section 6.5 présente une méthode alternative de simulation
de variables aléatoires (vous devrez l’utiliser dans le second TP distanciel).
Enfin les Sections 8 et 9 seront étudiées pendant la 5 ème semaine du cours. Elles sont
dédiées aux différents modes de convergence d’une suite de variables aléatoires. Elles sont
extrêmement importantes.



# Théorie de la mesure


[15220534-057d-466e-a44c-20b13f904c76](15220534-057d-466e-a44c-20b13f904c76)


Les trois conditions impliquent nécessairement qu’une tribu contient ∅ et
qu’une tribu est stable par intersection dénombrable.


Donnons quelques exemples classiques de tribu. La plus petite tribu d’un ensemble Ω est
{∅, Ω}. Elle est appelée tribu triviale de Ω. Il est facile de vérifier également que la plus
grosse tribu de Ω est P(Ω). Une intersection quelconque de tribu de Ω est une tribu de Ω,
i.e., si (A j ) j∈J est une famille quelconque de tribu de Ω alors
\
A j est une tribu de Ω.


En revanche, une union de tribu n’est à priori pas une tribu.


On emploie le terme d’événement pour désigner un élément d’une tribu.


[475f6cdd-9c2e-45ce-bc35-ca9c4bd3e88d](475f6cdd-9c2e-45ce-bc35-ca9c4bd3e88d)



Théorie de la mesure

# Intégration contre une mesure générale


Nothing to see here.


Fin.


Intégration contre une mesure générale

Probabilités


Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ dans $(\overline{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}))$ et soit $p,q \in [A, \infty]$ tels que $p$ et $q$ soient conjugués (i.e. $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$), alors


$$
|| XY ||_1 \le || X ||_p||Y||_q
$$


Inégalité de Hölder


Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ dans $(\overline{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}))$ et soit $p \in [A, \infty]$, alors


$$
|| X + Y ||_p \le || X ||_p + ||Y||_p
$$


Inégalité de Minkovski


Soit $X$ une variable aléatoire à valeur dans $\overline{\mathbb{R}}$.


- Soit $p \in [1, \infty[$ alors $|| X ||_p = E(|X|^p)^{\frac{1}{p}}$ est appelée norme $L^P$ de $X$
  


- Soit $p = \infty$ alors $||X||_p = \inf \{ M \ge 0, P(|X| \le M) = 1 \}$ est appelée norme infinie de X
  


Norme $L^P$ et infinie d’une variable aléatoire


Soit $X$ une variable aléatoire à valeur dans $\mathbb{R}^n$ et $P$ une loi de probabilités sur $\mathbb{R}^n$.


Alors, $P_X = P$, c’est à dire que $P$ est la loi de $X$


- ssi $\forall f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^+$ mesurable, $E(f(X)) = E_P(f)$
  


- ssi $\forall f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ mesurable et bornée, $E(f(X)) = E_P(f)$
  


Et rappelons que $E_P(f) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dP(x)$ dans les deux cas.


Méthode de la fonction muette


Soit $X$ une variable aléatoire dans $\mathbb{R}^n$ et $\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ mesurable positive ou $P_X$-intégrable


Alors, on a


$$
E_P(\varphi(X)) = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)dP_X(x) = E_{P_X}(\varphi)
$$


Aussi, si $P$ est une loi de probabilité discrète, alors on a


$$
E_P(\varphi) = \sum\limits_{i \in I} p_i\varphi(x_i)
$$


Et si $P$ est une loi de probabilités à densité sur $\mathbb{R}^n$ admettant la fonction $f$ pour densité, alors on a


$$
E_P(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)f(x)dx
$$


Application du théorème de transfert à l’espérance


Une variable aléatoire réelle est dire bornée $P$-presque sûrement si il existe $M > 0$ tel que $P( \vert X \vert \le M) = 1$.


Et si tel est le cas, elle est dite $P$-intégrable.


Variable aléatoire bornée


Une variable aléatoire est dire centrée si elle est intégrable et si son espérance est nulle.


Variable aléatoire centrée


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace de probabilités et $X$ une variable aléatoire sur cet espace.
Si $X$ est $P$-presque sûrement positive ou si $X$ est $P$-intégrable, alors on peut définir l'espérance de $X$ sous $P$ :



$$
E_P(X) = \int_\Omega X(\omega) dP(\omega)
$$


Espérance


Soit $X$ une variable aléatoire à densité, alors


- pour tout $t \in \mathbb{R}$ on a $F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(u) du$ ;
  


- $F_X$ est continue
  


- $F_X$ est $\lambda$-presque partout dérivable
  


- en tout point $u$ de dérivabilité de $F_X$ on a $f_X(u) = (F_X)'(u)$
  


Soit $Y$ une variable aléatoire telle que $F_Y$ est $\mathcal{C}^0$ et $\mathcal{C}^1_m$ sur $\mathbb{R}$, alors


- $Y$ est à densité ;
  


- et $f_Y(u) = (F_Y)'(u)$ pour $\lambda$-presque tout $u$ sur $\mathbb{R}$
  


Fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité


Soit $F : \mathbb{R} \to [0, 1]$ une fonction croissante, continue à droite, et telle que $\lim\limits_{t \to -\infty} F(t) = 0$ et $\lim\limits_{t \to \infty} F(t) = 1$.


Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0, 1]$. Alors


- $F^{-1}(U)$ est une variable aléatoire de fonction de répartition $F$
  


- $F$ est la fonction de répartition d’une variable aléatoire
  


Condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction soit une fonction de répartition


Soit $F : \mathbb{R} \to [0, 1]$ une fonction croissante. On défini sa pseudo-inverse $F^{-1}$ par $F^{-1} : ]0, 1[ \to \mathbb{R}, u \mapsto \inf \{x \in \mathbb{R}, \space F(x) \ge u \}$


Fonction pseudo-inverse d’une fonction croissante


C’est à dire que si $F_X = F_Y$ alors $P_X = P_Y$.


La fonction de répartition d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette variable aléatoire


Les points de discontinuité d’une fonction de répartition sont au plus dénombrables.


Dénombrement des points de discontinuité d’une fonction de répartition


- $F_X$ ne dépend que de la loi de $X$, c’est à dire que si $P_X = P_Y$ alors $F_X = F_Y$
  


- $F_X$ est croissante, continue à droite, et admet une limite à gauche en tout point de $\mathbb{R}$
  


- $\lim\limits_{t \to \infty} F_X(t) = 1$ et $\lim\limits_{t \to -\infty} F_X(t) = 0$
  


Propriétés de base de la fonction de répartition d’une variable aléatoire


La fonction $F_X : \mathbb{R} \to [0, 1], t \mapsto P(X \le t)$ est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire $X.$


Fonction de répartition d’une variable aléatoire


Une variable aléatoire $X : (\Omega, \mathcal{A}, P) \to (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ est à densité si sa loi $P_X$ est à densité. On note alors $f_X$ sa densité (qui est unique à égalité $\lambda_n$-presque partout).


Variable aléatoire à densité


Soit $P$ une loi de probabilités à densité sur $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ alors


- si $f$ et $g$ sont deux densités de $P$ alors elles sont égales $\lambda^n$-presque partout
  


- si $f$ est une densité de $P$ alors elle vérifie $\int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx = 1$
  


Propriétés de la densité d’une variable aléatoire


Une loi de probabilité $P$ sur $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ est à densité (ou absolument continue) par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda_n$ si il existe $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^+$ mesurable telle que


$$
P(A) = \int_A f d\lambda_n \quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)
$$


Loi de probabilité à densité


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $(\Omega', \mathcal{A}')$ un espace mesurable et $f : \Omega \rightarrow \Omega'$ mesurable.


On note $\mu_f$ la mesure image de $\mu$ par $f$ définie par $\mu_f(A') = \mu(f^{-1}(A')), \forall A' \in \mathcal{A}'$.


Mesure image par une fonction


Soit $P$ une propriété sur $\Omega$, c’est à dire $P : \Omega \rightarrow \{ 0, 1 \}$


On dit que $P$ est vérifiée presque partout si $P^{-1}(\{0\})$ est négligeable.


Propriété vrai presque partout


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $N$ une partie de $\Omega$.


On dit que $N$ est négligeable s’il existe $A \in \mathcal{A}$ tel que $N \subset A$ et $\mu(A) = 0$.


Partie négligeable


Soient $\mu$ et $\nu$, deux mesures sur un meme espace mesurable $(\Omega, \mathcal{A})$ et $\Epsilon$ un $\Pi$-système générateur de $\mathcal{A}$.


- Si $\mu(\Omega) = \nu(\Omega) < \infty$ et $\mu\vert_\Epsilon = \nu\vert_\Epsilon$ 
  


- Ou, si $\mu$ et $\nu$ sont $\sigma$-finies et qu’il existe une suite croissante d’évènements $(\Epsilon_n)$ de $\Epsilon$ tels que $\bigcup\limits_n \Epsilon_n = \Omega$ et $\mu(\Epsilon_n) < \infty$, et  $\mu\vert_\Epsilon = \nu\vert_\Epsilon$ 
  


Alors $\mu = \nu$ 


Égalité de mesures $\sigma$-finies sur un $\Pi$-système générateur


Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace mesurable et $\Epsilon$ un ensemble de parties de $\Omega$. On dit que $\Epsilon$ est un $\Pi$-système générateur de $\mathcal{A}$ si $\mathcal{A} = \sigma(\Epsilon)$ et si $\Epsilon$ est stable par intersection finie.


$\Pi$-système générateur d’une $\sigma$-algèbre


Soit $(\Omega_k, \mathcal{A}_k, \mu_k)_{k=1}^n$des espaces mesurés dont les mesures sont toutes $\sigma$-finies. On peut définir une unique mesure sur la tribu produit telle que $\mu(A_1 \times ... \times A_n) = \prod\limits_{k=1}^n \mu_k(A_k)$ pour tout $(A_1, ..., A_n) \in \mathcal{A}_1 \times ... \times \mathcal{A}_n$


Mesure produit


Une mesure sur une certaine tribu est dite $\sigma$-finie s’il existe une suite croissante d’évènements dont la réunion est l’ensemble $\Omega$ telle que tout évènement de cette suite est de mesure finie.


Mesure $\sigma$-finie


- Les fonctions indicatrices d’évènements sont mesurables.
  


- Les fonctions continues sont mesurables, pour la tribu de Borel.
  


- Les fonctions coordonnées sont mesurables.
  


- Une combinaison linéaire de fonctions mesurables est mesurable.
  


- Le produit de fonctions mesurables est mesurable.
  


- Le $max$ et $min$ de fonctions mesurables sont mesurables.
  


- Le $sup$, $inf$, $limsup$, $liminf$ d’une suite de fonctions mesurables sont mesurables.
  


- La limite simple d’une suite de fonctions mesurables est mesurable
  


- Une fonction croissante est mesurable.
  


Fonctions mesurables usuelles

La tribu produit d’espaces de Borel est la tribu de Borel de ce produit d’espaces


Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace mesurable. On appelle mesure toute application $\mu : \mathcal{A} -> \mathbb{R}^+$ telle que


- $\mu(\empty) = 0$
  


- Pour toute famille au plus dénombrable d’évènements de $\mathcal{A}$ deux-à-deux disjoints, la mesure de leur réunion est égale à la somme de leur mesures
  


Mesure


- La composée de deux fonctions mesurables est mesurable
  


- Une fonction dont les coordonnées sont mesurables est mesurable, pour la tribu produit.
  


Opérations préservant la mesurabilité


Une fonction $f : (\Omega, \mathcal{A}) -> (\Omega', \mathcal{A}')$ entre deux espaces mesurables est dite elle meme mesurable si $\forall A' \in \mathcal{A}', f^{-1}(A') \in \mathcal{A}$


Fonction mesurable


Soient $(\Omega_1, d_1), ..., (\Omega_n, d_n)$ des espaces mesurables.


La tribu produit de ces espaces est la tribu engendrée par $\{ A_1 \times ... \times A_n, (A_k) \in \mathcal{A}_1 \times ... \times \mathcal{A}_n \}$


On note cette tribu $\bigotimes\limits_{k=1}^{n}\mathcal{A}_k$


Tribu produit


Soit $\Epsilon$ un ensemble de parties de $\Omega$. La tribu engendrée par $\Epsilon$ est notée $\sigma(\Epsilon)$ est la plus petite tribu contenant $\Epsilon$.


C’est aussi l’intersection de toutes les tribus contenant $\Epsilon$.


Tribu engendrée par un ensemble de parties


$\mathcal{A}$ un ensemble de parties de $\Omega$ est appelé tribu de $\Omega$ si


- $\Omega \in \mathcal{A}$
  


- $\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable
  


- $\mathcal{A}$ est stable par passage au complémentaire
  


Tribu


Soit $X : (\Omega, \mathcal{A}, P) \to (\Epsilon, \mathcal{B})$ une variable aléatoire. On appelle loi de $X$, notée $P_X$, la mesure de probabilité image de $P$ par $X$.


Loi d’une variable aléatoire


On appelle variable aléatoire toute application mesurable définie sur un espace de probabilité


Variable aléatoire


Un espace de probabilité est un espace mesuré muni d’une mesure de probabilité.


Espace de probabilité


On appelle loi de probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ toute mesure $P$ de masse égale à $1$


Loi de probabilité


Soit $f : \Omega \to \overline{\mathbb{R}}$ intégrable.


Alors


- $\Omega_1 \to \overline{\mathbb{R}}, \omega_1 \mapsto \int_{\Omega_2} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_2(\omega_2)$ est $\mu_1$-intégrable
  


- $\Omega_2 \to \overline{\mathbb{R}}, \omega_2 \mapsto \int_{\Omega_1} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_1(\omega_1)$ est $\mu_2$-intégrable
  


Et on a 


$$
\int_\Omega f \space d\mu = \int_{\Omega_1} [ \int_{\Omega_2} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_2(\omega_2) ] d\mu_1(\omega_1) = \int_{\Omega_2} [ \int_{\Omega_1} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_1(\omega_1) ] d\mu_2(\omega_2)
$$


Théorème de Fubini général


Soit $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ un produit d’espaces mesurés muni de la tribu produit et de la mesure produit $\mu = \mu_1 \otimes \mu_2$ telle que $\mu_1$ et $\mu_2$ sont des mesures $\sigma$-finies.


Soit alors $f$ définie sur $\Omega$ et mesurable positive.


Alors


- $\Omega_1 \to \overline{\mathbb{R}}^+, \omega_1 \mapsto \int_{\Omega_2} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_2(\omega_2)$ est mesurable
  


- $\Omega_2 \to \overline{\mathbb{R}}^+, \omega_2 \mapsto \int_{\Omega_1} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_1(\omega_1)$ est mesurable
  


Et on a 


$$
\int_\Omega f \space d\mu = \int_{\Omega_1} [ \int_{\Omega_2} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_2(\omega_2) ] d\mu_1(\omega_1) = \int_{\Omega_2} [ \int_{\Omega_1} f(\omega_1, \omega_2) \space d\mu_1(\omega_1) ] d\mu_2(\omega_2)
$$


Théorème de Fubini positif


Soit $f : (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \rightarrow (\Omega', \mathcal{A}')$ mesurable. Aussi, soient


- $\varphi^+ : \Omega' \rightarrow \overline{\mathbb{R}}^+$ mesurable positive ;
  


- et $\varphi : \Omega' \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ mesurable.
  


Alors


- $\int_\Omega \varphi^+ \circ f \space d\mu = \int_{\Omega'} \varphi^+ \space d\mu_f$
  


- $\varphi$ est $\mu_f$-intégrable ssi $\varphi \circ f$ est $\mu$-intégrable et alors $\int_\Omega \varphi \circ f \space d\mu = \int_{\Omega'} \varphi \space d\mu_f$
  


Théorème de transfert


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables sur cet espace.


Si


- il existe une fonction $f'$ mesurable égale à la limite ponctuelle de la suite $(f_n)$ presque partout ;
  


- et il existe une fonction $g$ intégrable positive telle qu’à partir d’un certain rang l’on ait $\vert f_n \vert \le g \space \mu\text{-pp}$
  


Alors


- A partir de ce rang les $f_n$ sont intégrables
  


- $f$ est intégrable
  


- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega f \space d\mu$
  


Théorème de convergence dominée


Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables et égales presque partout. Alors, si $f$ est intégrable alors $g$ l’est aussi et leurs intégrales sont égales.


Intégrabilité de deux fonctions égales presque partout


Soit $f$ une fonction mesurable. Cette fonction est dire intégrable par rapport à $\mu$, ou $\mu$-intégrable si $\int_\Omega \vert f \vert d\mu < \infty$. 


Et alors l’intégrale de $f$ est définie par 


$$
\int_\Omega f d\mu = \int_\Omega f^+ d\mu - \int_\Omega f^- d\mu
$$


On note $L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ l’ensemble des fonctions intégrables sur cet espace mesurable. Cet ensemble est un espace vectoriel et l’intégrale est linéaire sur celui-ci.


Fonction intégrable par rapport à une mesure


Soit $f$ une fonction mesurable. On note $f^+ = \max{\{0, f\}}$, resp. $f^- = \max{\{0, -f\}}$, la partie positive, resp. négative, de $f$.


Ces deux fonctions sont mesurables positives et satisfont $f = f^+ - f^-$. 


Parties positive et négative d’une fonction mesurable


Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace mesurable et $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma$-finies sur cet espace.


Si $\mu \ll \nu$ alors il existe une fonction $f$ mesurable positive sur $(\Omega, \mathcal{A})$ telle que


La fonction $f$ est appelée densité de $\mu$ par rapport à $\nu$ et est notée $\frac{d\mu}{d\nu}$.


Théorème de Radon-Nikodym


[848a6414-20fb-4838-8bdd-2a7177e5cff6](848a6414-20fb-4838-8bdd-2a7177e5cff6)



Deux mesures $\mu$ et $\nu$ sur un meme espace sont dites équivalentes lorsque $\mu \ll \nu$ et $\nu \ll \nu$.


Mesures équivalentes


Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace mesurable et $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur cet espace. On dit que $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ et on note $\nu \ll \mu$ si tout ensemble de mesure nulle pour $\mu$ est également de mesure nulle pour $\nu$.


Absolue continuité d’une mesure par rapport à une autre


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonction mesurable positive sur cet espace.


Alors, pour tout $A \in \mathcal{A}$ on peut définir la quantité $\nu(A) = \int_A f \space d\mu$.


$\nu$ défini alors une mesure sur $\mathcal{A}$ et on a le résultat suivant pour toute fonction $g$ mesurable positive


$$
\int_\Omega g \space d\nu = \int_\Omega gf \space d\mu
$$


Mesure définie par densité


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors


$$
\int_\Omega \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n \space d\mu \le \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n \space d\mu
$$


Lemme de Fatou


Soient $f$ et $g$ des fonctions mesurables positives et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors


- $\int_\Omega f + g \space d\mu = \int_\Omega f \space d\mu + \int_\Omega g \space d\mu$
  


- $\int_\Omega \sum\limits_{n \ge 0} f_n \space d\mu = \sum\limits_{n \ge 0} \int_\Omega f_n \space d\mu$
  


Propriétés des intégrales de fonctions mesurables positives corollaires du théorème de Beppo-Levy 


Soit $f : \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}^+$ mesurable positive. Il existe $(h_n)$ une suite croissante de fonctions étagées positives telle que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n = f$


Toute fonction mesurable positive est limite ponctuelle d’une suite croissante de fonctions étagées positives


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables positives.


On note $f$ la limite simple de la suite $(f_n)$.


Alors $f$ est une fonction mesurable positive et on a


$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega f d\mu
$$


Théorème de convergence monotone de Beppo-Levy


[492218b6-4321-4fb7-b9dd-ca87e75274a6](492218b6-4321-4fb7-b9dd-ca87e75274a6)



Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonction mesurable positive, alors


- $\forall A \in \mathcal{A}, \mu(A) = \int_\Omega 1_A d\mu$
  


- $\mu(\{\omega \in \Omega, f(\omega) = \infty\}) > 0 \implies\int_\Omega f d\mu = \infty$
  


- $\int_\Omega f d\mu = 0 \iff f = 0 \space \mu-pp$
  


- $\forall c \in \mathbb{R}^+, \int_\Omega c f d\mu = c \int_\Omega f d\mu$
  


- $f \ge g \space \mu-pp \implies \int_\Omega f d\mu \ge \int_\Omega g d\mu$
  


Propriétés de base des intégrales de fonctions mesurables positives


[7e324d63-b8d0-45cc-a2a0-71a297be1e0b](7e324d63-b8d0-45cc-a2a0-71a297be1e0b)



Soit $f: (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \rightarrow (\overline{\mathbb{R}}^+, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}^+))$ mesurable. L’intégrale de $f$ contre $\mu$ est définie par 


$$
\int_\Omega f \space d\mu = sup \{ \int_\omega h \space d\mu, h \space \text{étagée positive et} \space h \le f \}
$$


Intégrale d’une fonction mesurable positive


Soit $f: \Omega \rightarrow [0, \infty], w \mapsto \sum\limits_k \alpha_k 1_{A_k}(w)$ une fonction étagée positive


Son intégrale contre $\mu$ est alors définie par 


$$
\int_\Omega f \space d\mu = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \mu(A_k)
$$


Intégrale d’une fonction étagée positive


Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $n \in \mathbb{N}$.


Soit aussi $(\alpha_k)_{k=1}^n \in [0, \infty]^n$ et $(A_k)_{k=1}^n \in \mathcal{A}^n$ deux à deux disjoints.


Une fonction $f: \Omega \rightarrow [0, \infty]$ est dite étagée (positive) si elle est de la forme


$$
f(w) = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k 1_{A_k}(w)
$$
